Раздел 3. Геометрическая вероятность
Если пространство элементарных событий содержит бесконечное
множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое
геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит
только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на
этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий. Под мерой понимается
- в одномерном пространстве - длина
- в двумерном пространстве - площадь
- в трехмерном пространстве - объем
Таким образом, геометрическая вероятность означает, что
Пример: Игла Бюффона.
Стол разграфлен параллельными линиями на расстоянии 2а, на стол
случайным образом бросается игла длиной 2L, L < a. Какова
вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?
Рисунок 3.1. " Игла Бюффона"
Положение иглы можно характеризовать двумя параметрами:
Х - расстояние
от центра иглы до ближайшей линии, φ - угол между направлением иглы и
линии. "Случайность" положения иглы означает, что Х может равновероятно
принимать любые значения от 0 до а, а φ - соответственно - от 0 до Π.
Тогда пространство элементарных событий представим прямоугольником, а
событие А (пересечение произошло) - областью под кривой Х = L×sinφ,
т.к. для пересечения нужно, чтобы Х было меньше, чем L×sinφ (случай 2
на рисунке 3.1)
Рисунок 3.2. Пространство элементарных событий и событие А (заштриховано) для " Иглы Бюффона"
В этом случае площадь U равна Π×а, а площадь под кривой
таким образом вероятность пересечения P(A) = 2×L / (Πа).
|