• Программа курсу
• Теоретический материал
• Практические занятия (скачать)

• Практические занятия (скачать)
• Методичка(скачать)

• Лабораторні

• Підручник
• Лабораторні роботи

Раздел 7.   Многомерные случайные величины

Пусть имеется пространство элементарных событий U,
на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию g_i из U сопоставим несколько чисел: ξ _i1 , ξ _i2 , ξ _i3 , ... ξ _ik  или вектор ξ_i. Потребуем, чтобы для любых х_j ( -∞ < х_j <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ _j < х_j ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность
Р{ ξ ₁ < x₁ ,  ξ ₂ < x₂ , ...  ξ _k < x_k } = P(A) = F( x₁, x₂,  ... x_k ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x₁, x₂,  ... x_k ) ее функцией распределения.

Примеры:
1 .   Координаты молекулы, находящейся в сосуде с газом, (x,y,z) или компоненты ее скорости (Vx,Vy,Vz) - можно рассматривать как трехмерные случайные величины
2 .   В задаче "о встрече" время прихода одного участника (х₁) и другого (х₂), если условия их прихода известны (скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел х₁, х₂ можно рассматривать как двумерную случайную величину
3 .   Результат эксперимента, состоящего в измерении тока через разрядную трубку при десяти различных напряжениях, поданных на трубку, можно рассматривать как десятимерную случайную величину

Свойства многомерной функции распределения:
1 .   F( x₁, x₂,  ... -∞ ... x_k ) = 0
2 .   F( x₁, x₂,  ... x_k-1, ∞) = F( x₁, x₂,  ... x_k-1 ), т.е. если один из аргументов принимает значение ∞, то размерность случайной величины уменьшается на 1.
3 .   F( x₁, x₂,  ... x_k ) не убывающая функция любого аргумента

Многомерные случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например, упомянутые выше компоненты скорости молекулы).
У них F( x₁, x₂,  ... x_k ) непрерывная функция всех аргументов.
Для них определена к-мерная плотность распределения p( x₁, x₂,  ... x_k ), которая есть производная от функци распределения.

  (7.1)

Вероятность того, что случайный вектор примет значение, лежащее в области V к-мерного пространства, равна интегралу по этой области от к-мерной плотности распределения.
Интеграл по всем переменным от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен 1.

Интеграл по одной переменной от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен плотности распределения (к-1)-мерной случайной величины.

Например:

        (7.2)

Многомерные случайные величины могут быть дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное или счетное множество определенных значений.
Например, рассмотрим эксперимент по бросанию одновременно двух костей, с каждым элементарным событием свяжем два числа ( z₁, z₂ ), где z₁ - число очков на первой кости, z₂ - сумма очков на двух костях.
Тогда ( z₁, z₂ ) - двумерная случайная величина, поскольку известна вероятность р( х_i, х_k ) пересечения событий, состоящих в том, что z₁ примет значение х_i, а z₂ - х_k . Для дискретных случайных величин закон распределения задается вероятностями всевозможных комбинаций их значений. Для двумерной величины при небольшом числе возможных значений это удобно представить в виде таблицы, где на пересечении столбца z₁ и строки z₂ стоит вероятность р( z₁, z₂ )

Таблица 7.1 Закон распределения двумерной величины z₁, z₂

Просуммировав все значения р( z₁, z₂ ) вдоль каждой строки, мы получим вероятности определенных значений z₂ , т.е. закон распределения одномерной величины z₂ . Аналогично, сумма по столбцам даст закон распределения одномерной величины z₁ . Сумма всех чисел в таблице должна быть равна 1 .

Математическим ожиданием многомерной случайной величины называется вектор, компоненты которого являются математическим ожиданием каждой отдельной компоненты случайного вектора.
M( z₁, z₂, ... z_k ) = ( Mz₁, Mz₂,  ...  Mz_k ).   Mz_i вычисляются как сумма или интеграл так же, как и для одномерных случайных величин . (см. раздел 6)

Дисперсия многомерной случайной величины описывается ковариационной матрицей .
Это таблица чисел размерности К×К для К-мерной величины, у которой на диагонали стоят дисперсии соответствующих одномерных величин, вычисляемых обычным образом, а ij-тым элементом является b_ij - коэффициент ковариации i-той и j-той компоненты случайного вектора.

        (7.3)

Коэффициент ковариации случайных величин z_i , z_j , обозначаемый иногда как cov(z_i,z_ji), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой из этих величин от своего математического ожидания:

b_ij = cov(z_i, z_j) = M[(z_i - Mz_i)(z_j - Mz_j)]         (7.4)

Для вычисления коэффициента ковариации надо знать закон распределения двумерной случайной величины (z_i,z_j). Тогда для непрерывных величин:

        (7.5)

для дискретных величин:

        (7.6)

Здесь суммирование ведется по всем t значениям, которые принимает величина z_i и всем q значениям, которые принимает величина z_j .

Преобразовав (7.4), получим более удобную формулу для вычисления коэффициента ковариации

b_ij = cov(z_i, z_j) = M(z_i × z_j) - Mz_i × Mz_j         (7.7)

Вычислим характеристики двумерной величины, представленной в таблице 7.7

Мz₁ = 1/6 ×( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3.5
Мz₂ = 2/36 + 3/18 + 4/12 + 5/9 + 30/36 + 7/6 + 40/36 + 9/9 + 10/12 + 11/18 + 12/36 = 7 , т.е.
М(z₁, z₂) = (3.5, 7)

Dz₁ = 1/6 ×( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ) - 3.52 = 3.417
Dz₂ = 4/36 + 9/18 + 16/12 + 25/9 + 36 × (5/36) + 49/6 + 64 × (5/36) + 81/9 + 100/12 + 121/18 + 144/36 - 49 = 5.833

M(z₁z₂) = 1/36 × (1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 2×3 + 2×4 + 2×5 + 2×6 + 2×7 + 2×8 + 3×4 + 3×5 + 3×6 + 3×7 + 3×8 + 3×9 + 4×5 + 4×6 + 4×7 + 4×8 + 4×9 + 4×10 + 5×6 + 5×7 + 5×8 + 5×9 + 5×10 + 5×11 + 6×7 + 6×8 + 6×9 + 6×10  + 6×11 + 6×12) - 3.5×7 = 2.917 ,

т.е. ковариационная матрица имеет вид:

        (7.7)

Часто используется понятие: коэффициент корреляции r_ij - это коэффициент ковариации, деленный на корень из произведения дисперсий i-той и j-той компонент случайного вектора

        (7.8)

• Национальная академия управления
• Кафедра интеллектуальных систем